正交分解

矩阵的正交分解又称为QR分解，是将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵的乘积的形式。

任意实数方阵A，都能被分解为 。这里的Q为正交单位阵，即 R是一个上三角矩阵。这种分解被称为QR分解。 QR分解也有若干种算法，常见的包括Gram–Schmidt、Householder和Givens算法。 QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵与上三角矩阵的乘积。用一张图可以形象地表示QR分解：

提到正交分解就不得不讨论（Householder transformation Householder变换）豪斯霍尔德变换和（Schmidt orthogonalization Schmidt正交化）施密特正交化

Schmidt正交化

定理1 设A是n阶实非奇异矩阵,则存在正交矩阵Q和实非奇异上三角矩阵R使A有QR分解;且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外,分解是唯一的.

定理2 设A是m×n实矩阵,且其n个列向量线性无关,则A有分解A=QR,其中Q是m×n实矩阵,且满足QHTQ=E,R是n阶实非奇异上三角矩阵该分解除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等于1的对角矩阵因子外是唯一的.用Schmidt正交化分解方法对矩阵进行QR分解时，所论矩阵必须是列满秩矩阵。

算法步骤

1. 写出矩阵的列向量;
2. 列向量按照Schmidt正交化正交;
3. 得出矩阵的Q′,R′;
4. 对R′的列向量单位化得到Q，R′的每行乘R′每列的模得푹

matlab代码

function[X,Q,R] = QRSchmidt(A,b)%方阵的QR的Gram-Schmidt正交化分解法，并用于求解AX=b方程组[m,n]=size(A); if m~=n	%如果不是方阵，则不满足QR分解要求	disp('不满足QR分解要求');endQ=zeros(m,n);X=zeros(n,1);R=zeros(n);for k=1:nR(k,k)=norm(A(:,k));	if R(k,k)==0		break;	end	Q(:,k)=A(:,k)/R(k,k);	for j=k+1:n		R(k,j)=Q(:,k)'*A(:,j); 		A(:,j)=A(:,j)-R(k,j)*Q(:,k);	endif nargin==2	b=Q'* b;	X(n)=b(n)/R(n,n);	for i=n-1:-1:1		X(i)=(b(i)-sum(R(i,i+1:n).*X(i+1:n)'))/R(i,i);	endelse	X=[];endend

Householder变换

设A为任一n阶方阵，则必存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角阵R，使得A=QR

设w∈Cn是一个单位向量，令

则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。则对于任意的 存在Householder矩阵H，使得Hx=-au。其中

酉矩阵（unitary matrix）

若n阶复矩阵A满足

则称A为酉矩阵，记之为其中，Ah是A的共轭转置

酉矩阵性质

如果A是酉矩阵

1. 
2. 也是酉矩阵；
3. det(A)=1;
4. 充分条件是它的n个列向量是两两正交的单位向量。

算法步骤

1. 将矩阵A按列分块写成A=(α1，α2，...，αn）.如果α1≠0，则可得，存在n阶householder矩阵H1使得于是有
   如果α1=0，则直接进行下一步，此时相当于取，而a1=0.
2. 将矩阵An-1按列分块写成An-1=（αi,α2，... ,αn-1）。如果α1≠0，则可得，存在n-1阶householder矩阵H’2使得 于是有
   此时，令
   
   则H2是n阶Householder矩阵，且使
   
   如果α1=0，则直接进行下一步
3. 对n-2阶矩阵继续进行类似的变换，如此下去，之多在第n-1步，我们可以找到Householder矩阵H1，H2，...，Hn-1使得
   
   令，则Q是酉矩阵之积，从而必有酉矩阵并且A=QR

matlab代码

function[ X,Q,R ] = QRHouseholder(A,b)%用Householder变换将方阵A分解为正交Q与上三角矩阵R的乘积，并用于求解AX=b方程组[n,n]=size(A);E=eye(n);X=zeros(n,1);R=zeros(n);P1=E;for k=1:n-1	%构造w,使Pk=I-2ww'	s=-sign(A(k,k))* norm(A(k:n,k));	R(k,k)=-s;	if k==1		w=[A(1,1)+s,A(2:n,k)']';	else		w=[zeros(1,k-1),A(k,k)+s,A(k+1:n,k)']';		R(1:k-1,k)=A(1:k-1,k);	end	if  norm(w)~=0		w=w/norm(w);	end	P=E-2*w*w';	A=P*A;	P1=P*P1;	R(1:n,n)=A(1:n,n);endQ=P1';if nargin==2	b=P1*b;	X(n)=b(n)/R(n,n);	for i=n-1:-1:1		X(i)=(b(i)-sum(R(i,i+1:n).*X(i+1:n)'))/R(i,i);	endelse	X=[];end

matlab自带方法

%产生一个3*3大小的魔方矩阵A=magic(3)[Q,R]=qr(A)

使用Eigen C++ Eigen提供了几种矩阵分解的方法

其中HouseholderQR、ColPivHouseholderQR、FullPivHouseholderQR是我们目前要用到的QR分解方法

#include 
    
     #include 
     
      using namespace Eigen;using namespace std;int main() {    Matrix3d A;    A<<1,1,1,            2,-1,-1,            2,-4,5;    HouseholderQR
      
        qr;    qr.compute(A);    MatrixXd R = qr.matrixQR().triangularView
       
        ();    MatrixXd Q =  qr.householderQ();    std::cout << "QR2(): HouseholderQR---------------------------------------------"<< std::endl;    std::cout << "A "<< std::endl <
        << std::endl << std::endl;    std::cout <<"qr.matrixQR()"<< std::endl << qr.matrixQR() << std::endl << std::endl;    std::cout << "R"<< std::endl <
         
          << std::endl << std::endl; std::cout << "Q "<< std::endl <
          << std::endl << std::endl; std::cout <<"Q*R" << std::endl <
           
            << std::endl << std::endl; return 0;}
           
         
       
      
     
    

输出

好了大功告成，为什么我要写计算方法的文章呢，虽然现在有很多的库和包给我们调用，但是我们也不能忘了代码的本质是为了解决复杂的数学问题，从根源上去理解一种计算方法有助于我们对自身代码的优化，比如这些方法我们可以把它写到FPGA和CUDA等并行或者分布式的计算当中，加速我们的计算方法，这比直接单机去调用这些库会超乎想象的快。